In diesem Eintrag sind die Korrekturen für die zweite Übung zu finden.
| Skript-Anfang | Blatt2 – Seite 1 |
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| Skript-Ende | Blatt2 – Seite 1 |
Übung 2 – Aufgabe 5
c)
\[\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-x+\frac{1}{4}}{1-\sin(\pi*x )}\]
\[=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2x-1}{-\pi*\cos(\pi*x )}\]
\[=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2}{+\pi^2\sin(\pi*x )}\]
\[=\frac{2}{\pi^2*sin(\frac{\pi}{2})}\]
\[=\frac{2}{\pi^2}\]
Hinweis:
Wenn der Grenzwert = 0 ist, dann muss einfach weiter abgeleitet werden
Übung 2 – Aufgabe 1
c)
\[ \left.\begin{matrix} f“(x)=\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}} \ |f“(x)|=\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}} \end{matrix}\right\}monoton fallend mit x\geq -1 \]
\[|f“(-\frac{1}{2})| = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071\]
\[|f“(+\frac{1}{2})| = 0.136\]
\[\Leftrightarrow c=\frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ |R_1(x)|=|f(x)-T_1(x))\leq \frac{c}{2}|x-x_0|^2 \]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{2}}(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8\sqrt{2}} \]
e)
\[R_2(\frac{1}{9})=f(\frac{1}{9})-T_2(\frac{1}{9})=\frac{(\frac{1}{9})^2}{3!}*f“'(\xi )\]
\[= \frac{1}{4374}*f“'(\xi )\]
\[f“'(\xi)=\frac{3}{8}(1+\xi)^{-\frac{5}{2}}\]
\[\xi = 0\]
\[R_2(\frac{1}{9})\leq \frac{1}{4374}*\frac{3}{8} = \frac{1}{11664} \approx 0.0000573388\]
Übung 2 – Aufgabe 2
c)
\[R_1(x_1)=f“(\xi)*\frac{1}{2}*(x-x_0)^2 \]
\[R_1(x_1)=f“(\xi)*\frac{1}{2}*(8-9)^2 \]
\[= -\frac{1}{8}*\xi^{-\frac{3}{2}}\]
\[=|f“(8)|>|f“(9)|\]
\[=-\frac{1}{8}*8^{-\frac{3}{2}}\]
\[\approx \frac{1}{54}\]
d)
\[R_1(11)= -\frac{1}{2}*9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{54}\]