Maximilian Krieg
Wissen, Technik & Erfahrungen
| Skript-Anfang | funktionen11 – Seite 1 |
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| Skript-Ende | differential – Seite 11 |
Organisatorisches
- guntherochs@googlemail.com
Abbildung A nach B
- Ordnet jedem Element einer Menge A eindeutig einer Menge B zu
\( f: A \rightarrow B \)
Intervall
- Zusammenhängende Teilmenge
\( (-\infty,+\infty ) = \mathbb{R} \) ← Klammern dürfen nicht [] sein, weil \( \infty \) kein Ende hat
\( [1, \infty) = \{x\in \mathbb{R};x\geq 1\} \)
Polynome
- Der Größte Koeffizient ist zuständig für die Form des Graphens
- Koeffizienten sind die Faktoren vor x
- Polynom des n-ten-Grads = Höchster Exponent über x ist n
\( p(x)=-2x^{4}+3x^{2}-\frac{1}{2}x +2 \)
Asymptote
- Eine Funktion, die sich einer anderen Funktion oder einer kartesischen Achse im Unendlichen annähert
\( f(x)=\frac{1}{x}+x\) und \( g(x)=x \)
Gebrochen rationale Funktion
- Üblicherweise dann unterbrochen, wenn unter dem Bruch (im Nenner) 0 steht
- Die unterbrochene Stelle ist eine Definitionslücke und wird auch Polstellegenannt
- Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im (+/-) Unendlichen und besitzt dort eine senkrechte Asymptote
Umkehrfunktion
- Wir erhalten die Umkehrfunktion, indem wir f(x) an y=x spiegeln
\( f(x)=x^{2} \) hat die Umkehrfunktion \( f^{-1}(x)=x^{1/2} = \sqrt{x} \)
Beispiel
\( f(x)=\sqrt{1-\sqrt{x+4}} \)
Definitionsbereich äußere Wurzel
\( 1-\sqrt{x+4} \geq 0 \)
\( \sqrt{x+4} \leq 1 \)
Definitionsbereich innere Wurzel
\( x+4 \leq 1 \)
\( 0 \leq x +4 \leq 1 \)
\( -4 \leq x \leq -3 \)
Definitionsbereich
\( D = [-4;-3] \)
Umkehrfunktion aufstellen
\( y=\sqrt{1-\sqrt{x+4}} \)
\( y^{2}=1-\sqrt{x+4} \)
\( x+4 = (1-y^{2})^{2} \)
\( x+4 = 1-2y^{2}+y^{4} \)
\( x = -3-2y^{2}+y^{4} \)
\( f^{-1}(x) = x^{4}-2x^{3}-3 \)
Rechenregeln
\( 16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} \)
\( 2^{x} < e^{x} < 3^{x} \)
\( log_2(\frac{4}{16}) = log_2(4) + log_2(16) = 2 + 4 = 6 \)
\( log_2(\frac{4}{16}) = log_2(4) – log_2(16) = 2 – 4 = -2 \)
\( log_2(4^{3}) = 3*log_2(4) = 3*2 = 6 \)
\( log_5(11)=\frac{ln11}{ln5} = 1,49 \)
\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{1}{2}}*x^{-\frac{2}{3}} = x \)
\( 2^{x} = e^{x*ln2} \)
Tangens
Sprungstellen
\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)
Beheben
\( D = \left \{ x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \} \right \} = (-\infty,0)\cup (0,+\infty ) \)
\( f(x) =\begin{cases} & \sqrt{x} \text{ if } x> 1\ & x^{2} \text{ if } x\leq 1 \end{cases} \)
\( f(x) =\begin{cases} & x^{2} \text{ if } x\leq 2\ & \sqrt{x} \text{ if } x > 2 \end{cases} \)
