Mathematik für Informatiker (Vorlesung 3)

Wiederholung

• Definition Menge:
• Teilmengen: |M|=m –> M hat genau m Elemente, so gibt es 2^m = |P(M)| Teilmengen von M (siehe Vollständige Induktion)

Teilmengen

Beispiel Würfel

• Alle möglichen Augenzahlen bilden Ereignisraum/Ereignismenge
• Ω = {1,2,3,4,5,6}
• Ereignisse sind Teilmengen von Ω, z.B.:

• Ereignis eine gerade Zahl zu würfeln A={2,4,6}
• Ereignis keine gerade Zahl zu würfeln ¬A=A^⊂={1,3,5}
• Ereignis eine Quadratzahl zu würfeln A={1,4}
• Ereignis keine Quadratzahl zu würfeln ¬A=A^⊂={2,3,5,6}
• Ereignis eine gerade Zahl zu würfeln, die eine Primärzahl ist: A = {2} = {2,4,6} ∩ {2,3,5}
• Ereignis eine Quadratzahl zu würfeln, die eine Primärzahl ist: A = ∅ = {1,4} ∩ {2,3,5} (unmögliches Ereignis)

Beispiel Primzahlen & gerade ZahlenM ∪ N ={2,3,4,5,6…}Doppelte Elemente werden ausgenommenM ∩ N ={2}M N = {3,4,5,6} (ohne 2)M ∩ A = {3,5,7,11}A M = {1,9}Beispiel 3 geschnittene Mengen

• Schnittmenge enthält alle Elemente, die nur in jeder Menge vorhanden ist

Allgemeiner Durchschnitt

• ∩ _X∈F M := {x : (∀X ∈ F : x ∈ M)}
• F = Menge von Mengen

Allgemeine Union

• Element muss in mindestens einer Menge vorher vorhanden gewesen sein

Komplement

A={3,5} A^c=¬A=ΩA={1,2,3,4,5,6}{3,5}={1,2,4,6}

Fazit

• Mit Mengen kann man genauso rechnen, wie mit Ereignissen

Disjunkt

• Zwei Mengen enthalten bei einer Schnittmenge keine gemeinsamen Elemente