• Definition Menge:
• Teilmengen: |M|=m –> M hat genau m Elemente, so gibt es 2^m = |P(M)| Teilmengen von M (siehe Vollständige Induktion)

Teilmengen

Beispiel Würfel

• Alle möglichen Augenzahlen bilden Ereignisraum/Ereignismenge
• Ω = {1,2,3,4,5,6}
• Ereignisse sind Teilmengen von Ω, z.B.:

• Ereignis eine gerade Zahl zu würfeln A={2,4,6}
• Ereignis keine gerade Zahl zu würfeln ¬A=A^⊂={1,3,5}
• Ereignis eine Quadratzahl zu würfeln A={1,4}
• Ereignis keine Quadratzahl zu würfeln ¬A=A^⊂={2,3,5,6}
• Ereignis eine gerade Zahl zu würfeln, die eine Primärzahl ist: A = {2} = {2,4,6} ∩ {2,3,5}
• Ereignis eine Quadratzahl zu würfeln, die eine Primärzahl ist: A = ∅ = {1,4} ∩ {2,3,5} (unmögliches Ereignis)

Beispiel Primzahlen & gerade ZahlenM ∪ N ={2,3,4,5,6…}Doppelte Elemente werden ausgenommenM ∩ N ={2}M N = {3,4,5,6} (ohne 2)M ∩ A = {3,5,7,11}A M = {1,9}Beispiel 3 geschnittene Mengen

• Schnittmenge enthält alle Elemente, die nur in jeder Menge vorhanden ist

Allgemeiner Durchschnitt

• ∩ _X∈F M := {x : (∀X ∈ F : x ∈ M)}
• F = Menge von Mengen

Allgemeine Union

• Element muss in mindestens einer Menge vorher vorhanden gewesen sein

Komplement

A={3,5} A^c=¬A=ΩA={1,2,3,4,5,6}{3,5}={1,2,4,6}

Fazit

• Mit Mengen kann man genauso rechnen, wie mit Ereignissen

Disjunkt

• Zwei Mengen enthalten bei einer Schnittmenge keine gemeinsamen Elemente

Der Beitrag Mathematik für Informatiker (Vorlesung 3) erschien zuerst auf Maximilian Krieg.

Vereinfachte MUX

• 1 Steuerung (Auswahl welcher Input gewählt wird)
• 2 Input
• 1 Ausgabe

Bestimmung der Minterme, wo m=1m=(¬s*¬x₀*x₁)+(¬s*x₀*x₁)+(s*x₀*¬x₁)+ (s*x₀*x₁)Komplexität = 11Vereinfachungm=(¬s*¬x₀*x₁)+(¬s*x₀*x₁)+(s*x₀*¬x₁)+ (s*x₀*x₁)=(¬s*x₁)(¬x₀+x₀) + (s*x₀)(¬x₁+x₁)=¬sx₁+ sx₀Komplexität=3

Prädikatenlogik und Quantoren

• Allquantor: Alle sind – ∀x : A(x)
• Existenzquantor: 1-n Zahlen vorhanden -∃x : A(x)
• Nur eine Zahl x – ∃!x : A(x)

Primzahlen

• Nur eine gerade Primzahl: 2

Negation

Lemma¬ (∀x : A(x)) ⇔ (∃x : ¬A(x))¬ (∃x : A(x)) ⇔ (∀x : ¬A(x)Beispiel∃ x ∈ R⁺: x²= 2Lösung∀ x ∈ R⁺😡²≠ 2Beispiel 9x ist eine gerade PrimzahlBeispiel

¬(∃ x ∈ R: x²= -1) ⇔ ∀x ∈ R: x² ≠ -1

Naive Mengenlehre

1. M={1,2}, N={1,2,3,4}
2. wenn N mehr elemtente als M hat, dann kann es nicht Teilmenge sein
3. M ist eine echte Teilmenge von N ⇔
   1. M ist Teilmenge von N
   2. N enthält wenigstens ein Element, das nicht in M liegt (z.B.: 3∉M, 4∉M)
4. M = N ⇔ (M⊂N ∧ N⊂M)
5. N = {b,y,e,s), M = {b,y,e,s,d) ⇔ N⊂M, d ∈ M, d∉N ⇔ n⊄M
6. Gesucht: alle Teilmengen von M (M={n,e}
   1. {} ⊂ M
   2. {n} ⊂ M
   3. {e} ⊂ M
   4. {n,e} ⊂ M
   • Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt die Potenzmenge von M, Berechnung P(M)
   • P(M) = {n: N⊂M)
   • P({n,e}) = {{}, {n}, {e}, {n,e}} = 4 Elemente

Berechnung der Teilmengen

M eine Menge mit n Elementen ⇒ Potenzmenge von M hat dann 2ⁿ Elemente

Der Beitrag Mathematik für Informatiker (Vorlesung 2) erschien zuerst auf Maximilian Krieg.

• Gerald TESCHL / Susanne TESCHL : Mathematik für Informatiker – Band 1. 2. Auflage 2007, Springer Verlag.

Organisatorisches

• 3+1 SWS
• dreistündige Vorlesung mit einer eingebetteten einstündigen Übung
• praktischen Umsetzung und Anwendung der in der Vorlesung erarbeiteten Inhalte
• Möglichkeit zur Abgabe von Hausaufgaben
• Dezember noch eine Testklausur ins Netz stellen
• donnerstags im 2. Block im Raum 616 (Gebäude C10)

Übungen

• Übungsaufgaben vor den Tutorien ansehen, durcharbeiten und vorbereiten

Tutoren für Übungen

• S. Jaeger
• M. Kregiel

Übungsaufgaben

• URL: http://fbmn.h-da.de/~martin/
• Acc: fin
• PW: fin

Logik

Definition

• Grundlage für die Mathematik bilden Logik und Mengenlehre
• Für Mathematik in der (Theoretischen) Informatik sind logische Verknüpfungen (sog. Junktoren) essentiell.

Darstellung

Definition

• Im Rahmen einer binären Vernüpfung der Warheitswerte
• Lassen sich in physikalischer Form in der Hardware durch Schaltungen darstellen
• falsch (bzw. kein Strom fließt)
• wahr (bzw. Strom fließt)

Nach Aristoteles

• Eine Aussage eines sprachlichen Ausdrucks, dem objektiv und eindeutig einer der beiden Wahrheitswerte wahr/true bzw. 1 oder falsch/false bzw. 0 zugeordnet werden kann.

Negation

• Auch NON genannt
• Umkehr der Aussage

Beispiel

• 16 ist eine Primzahl ist falsch
• Die Verneinung hingegen ist wieder wahr.

Wahrheitstafeln

• Alle Verknüpfungen lassen sich für 2 Ausgangsaussagen (A/B mit 0/1) eindeutig definieren

Anzahl möglicher Schalterstellungen pro Verknüpfung=2^nn=Anzahl der SchalterAnzahl möglicher Kombinationen bei n-Schaltern=n^4n=Anzahl der Schalter4 entspricht AND, OR, XOR, ImplikationSatz 1Jede der 16 möglichen zweistelligen logischen Verknüpfungsoperationen kann auf eine Kombination von Disjunktionen, Konjunktionen und Negationen zurückgeführt werden.

Operatoren

• NAND – Sheffer-Operator – |
• NOR – Peirce-Operator – ↓

Lemma 1Es seien A und B Aussagen. Für die NAND- und NOR-Verknüpfung lassen sich Negation, Konjunktion und Disjunktion wie folgt ausdrücken:

1. Negation: ¬A = A | A = A ↓ A.
2. Konjunktion: A ∧ B = (A | B) | (A | B) = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B).
3. Disjunktion: A ∨ B = (A | A) | (B | B) = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B)

Der Beitrag Mathematik für Informatiker (Vorlesung 1) erschien zuerst auf Maximilian Krieg.