Maximilian Krieg
Wissen, Technik & Erfahrungen
Mathematik für Informatiker (Vorlesung 1)
Literatur
- Gerald TESCHL / Susanne TESCHL : Mathematik für Informatiker – Band 1. 2. Auflage 2007, Springer Verlag.
Organisatorisches
- 3+1 SWS
- dreistündige Vorlesung mit einer eingebetteten einstündigen Übung
- praktischen Umsetzung und Anwendung der in der Vorlesung erarbeiteten Inhalte
- Möglichkeit zur Abgabe von Hausaufgaben
- Dezember noch eine Testklausur ins Netz stellen
- donnerstags im 2. Block im Raum 616 (Gebäude C10)
Übungen
- Übungsaufgaben vor den Tutorien ansehen, durcharbeiten und vorbereiten
Tutoren für Übungen
- S. Jaeger
- M. Kregiel
Übungsaufgaben
- URL: http://fbmn.h-da.de/~martin/
- Acc: fin
- PW: fin
Logik
Definition
- Grundlage für die Mathematik bilden Logik und Mengenlehre
- Für Mathematik in der (Theoretischen) Informatik sind logische Verknüpfungen (sog. Junktoren) essentiell.
Darstellung
Definition
- Im Rahmen einer binären Vernüpfung der Warheitswerte
- Lassen sich in physikalischer Form in der Hardware durch Schaltungen darstellen
- falsch (bzw. kein Strom fließt)
- wahr (bzw. Strom fließt)
Nach Aristoteles
- Eine Aussage eines sprachlichen Ausdrucks, dem objektiv und eindeutig einer der beiden Wahrheitswerte wahr/true bzw. 1 oder falsch/false bzw. 0 zugeordnet werden kann.
Negation
- Auch NON genannt
- Umkehr der Aussage
Beispiel
- 16 ist eine Primzahl ist falsch
- Die Verneinung hingegen ist wieder wahr.
Wahrheitstafeln
- Alle Verknüpfungen lassen sich für 2 Ausgangsaussagen (A/B mit 0/1) eindeutig definieren
| A | B | ¬A (NON) | A∨B (OR) | ¬(A∨B) oder (A↓B) (NOR) | A∧B (AND) | ¬(A∧B) oder (A|B) (NAND) | A⊕B (XOR) | A⇒B (Implikation) |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Anzahl möglicher Schalterstellungen pro Verknüpfung=2^nn=Anzahl der SchalterAnzahl möglicher Kombinationen bei n-Schaltern=n^4n=Anzahl der Schalter4 entspricht AND, OR, XOR, ImplikationSatz 1Jede der 16 möglichen zweistelligen logischen Verknüpfungsoperationen kann auf eine Kombination von Disjunktionen, Konjunktionen und Negationen zurückgeführt werden.
Operatoren
- NAND – Sheffer-Operator – |
- NOR – Peirce-Operator – ↓
Lemma 1Es seien A und B Aussagen. Für die NAND- und NOR-Verknüpfung lassen sich Negation, Konjunktion und Disjunktion wie folgt ausdrücken:
- Negation: ¬A = A | A = A ↓ A.
- Konjunktion: A ∧ B = (A | B) | (A | B) = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B).
- Disjunktion: A ∨ B = (A | A) | (B | B) = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B)
